Information inför tentan

• Index

Tentan kommer att behandla den teori som har tagits upp inom ramen för de angivna läsanvisningarna (se under rubriken Läsanvisningar/OH), dvs de angivna sidorna i boken ingår liksom det som behandlas på föreläsningar, gruppövningar och labbar. I huvudsak kommer inegn Matlab-programmering att förekomma på tentan, men vissa uttryck kan förekomma, såsom att skapa enkla funktioner. Vissa uppgifter kommer att betona översikt och allmän kunskap, medan andra fokuserar mera på analys och djup

Tillåtna hjälpmedel

Inga alls (förutom penna, sudd och linjal).

Betygsgränser

50% betyget 3, 65% betyget 4 och 80% betyget 5.

Tentamen 080317

• Tentamen
• Lösningsförslag

Tentamen 070316

• Tentamen
• Lösningsförslag

Tentamen 070927

• Tentamen

Exempel på övningstentor

Notera att inehållet på kursen är beroende av bl.a. kurslitteratur vilket innebär att uppgifter på äldre tentor kan behandla områden vi inte tagit upp på kursen.

• Tenta1_VT06 med lösning Blad1, Blad2, Blad3, Blad4, Blad5
• Tenta2_VT05 med lösning Blad1, Blad2, Blad3
• Tenta1_VT05 med lösning Blad1, Blad2, Blad3
• Tenta1_VT04 med lösning Blad 1, Blad 2, Blad 3, Blad 4
• Omtenta med lösning Blad1, Blad2, Blad3
• Tenta1a_VT03 med lösning
• Tenta1b_VT03 med lösning
• Omtenta med lösning

Ytterligare info om tentan:

Först listas några formler som ni INTE behöver memorera, om de tas upp på tentan kommer de att vara givna och det handlar om att t.ex. förklara/tolka dem. Sidanvisningarna nedan hör till boken "Grunderna i Numeriska Metoder" av Peter Pohl 1:a upplagan (2005) utgiven av Liber.

Därefter ges exempel på frågor/frågeställningar som är av intresse map det man ska kunna efter avslutad kurs. Observera att detta bara är några exempel på frågeställningar och att det på tentan naturligtvis även kommer andra än de här nämnda.

Formler

• Taylorutvecklingen förväntas ni komma ihåg utantill men inte olika serier för speciella funktioner (tex tabellen på s. 12).
• Felfortplantningsformeln förväntas ni komma ihåg utantill (och därmed metodoberoende felskattning) men ej den teoretiska definitionen av konvergensordning (tex enligt s 49). Inte heller felskattning av sekantmetoden (s 80) map på formeln
  |x_n+1| ≈ K·|x_n-a|·|x_n-1-a|+E_n
  eller felskattning av fixpunktsmetoden map formeln
  x_n+1-α ≈ K(x_n-α)·(x_n-1-α)
  eller formeln
  x_n+1 ≈ -m·(x_n+1-x_n)/(1-m)
  på (s 83).
• Formeln
  e_trunk=P(x)-f(x)=-f⁽ⁿ⁾(ksi)/n!(x-x₁)(x-x₂)...(x-x_n)
  behöver ni inte heller komma ihåg utantill.
• Formeln för Runge-Kutta behöver ni inte komma ihåg utantill.

Exempel på viktiga frågeställningar

Approximationer & felkalkyl

• Beskriv några olika approximationer/felkällor relevanta i samband med datorbaserade beräkningar/simuleringar.
• Redogör för teoretisk kontra experimentell felkalkyl/analys.
• Vad menas med illa/välkonditionerade problem resp in/stabila algoritmer?
• Centrala begrepp för varje problemklass: Lösningens existens/entydighet, algoritmens/metodens utformning, effektivitet och noggrannhet.

Icke-linjära ekvationer f(x)=0

• Iterativa/direkta metoder (beskriv och jämför).
• Intervallhalvering/sekant/Newton-Raphson (beskriv, jämför)
• Om/hur konvergens? (fixpunktsanalys/konvergensordning)
• Felkalkyl (metodober, regelbundna iterationer)

Linjära ekvationer Ax=b och Ax ≈ b

• Grundbegrepp (ortogonalitet, linjärt oberoende, bas, rang, värderum, nollrum, singularitet, residual, normer)
• När existerar en entydig lösning?
• Antalet rader m= antalet kolumner n samt m>n (jämför, beskriv)
• Hur används en känd faktorisering, tex PA=LU, A=QR eller A=UDV^T, för att lösa Ax=b?
• Hur används minsta kvadrtat metoden för att lösa Ax ≈ b (geometrisk och analytisk tolkning).
• Vad innebär en minsta-normlösning
• Redogör för begreppet kondition och hur man kan avgöra om ett system är illa-konditionerat samt hur man bör behandla dessa system.

Approximationer/Interpolation

• Hur uppstår Ax ≈ b
• Utifrån en given problemformulering kunna ställa upp Ax=b alt. Ax ≈ b, dvs ange A, x och b.
• Vandermonde (jmf. Vandermondmatriser)/Newtons ansats (beskriv, jämför)
• Ange relevanta approximationer/felkällor
• Givet
  e_trunk=P(x)-f(x)=-f⁽ⁿ⁾(ksi)/n!(x-x₁)(x-x₂)...(x-x_n),
  ge en intuitiv förklaring till detta uttryck
• Vad är Runges fenomen och hur kan detta undvikas
• Beskriv (kortfattat) Hermite/Splines samt jämför de med varandra samt med Newtons ansats. Vilka är de centrala skillnaderna.

Derivator/Integraler

• Beskriv nödvändiga approximationer i detta fall och vilken typ av fel de resulterar i
• Beskrivning och härledning av Derivataskattningar samt Trapetsmetoden med tillhörande nogranhetsordning
• Vilka är grundtankarna bakom Richardson extrapolation, dvs hur reduceras inverkan av trunkationsfel.

ODE

• Härled Eulers metod för skalära ode av typen y'=f(t,y), y(t₀)=y₀
• Beskriv trunkationsfelet (lokalt/globalt)
• Vad menas med explicita/implicita metoder (exemplifiera med Euler). Jämför de båda och ange några för- resp nackdelar
• Omskrivning av n:te ordningens ode till ett system av första ordningen.